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数学中有哪些巧合让人眼前一亮？

宋德，随意转载，无需私信

上学时，数学竞赛获得优胜，主办方额外送了本书《Proofs Without Words》，里面有很多脑洞大开的巧合：

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$

证明：

步骤再详细点：

$\frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{2^4}+...=1$

证明：

$\frac{1}{3} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{3^4}+...=\frac{1}{2}$

证明：

$\frac{1}{4} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{4^3} +\frac{1}{4^4}+...=\frac{1}{3}$

证明：

$1+2=3$

$4+5+6=7+8$

$9+10+11+12=13+14+15$

...

$n^2+(n^2+1)+...+(n^2+n)=(n^2+n+1)+...+(n^2+2n)$

证明

进阶一点，三角函数：

$\sin(x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$

证明：

$\cos(x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$

证明：

$c^2=(b\sin\theta)^2+(a-b\cos\theta)^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$

证明：

$\tan{\frac{\theta}{2}}={\frac{\sin \theta}{1+\cos\theta}}={\frac{1- \cos \theta}{\sin\theta}}$

证明：

$\bar{(a,b)}\times \bar{(c,d)}=ad-bc$

证明：

如果感兴趣，可以在网上搜 Proofs Without Words，共两本。

附下载链接（从俄罗斯的找到的，所以速度较慢）：

第一本：

http://golibgen.io/view.php?id=858654

第二本：

http://golibgen.io/view.php?id=858655

当然，还是支持正版：

第一本：

https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classroom/dp/0883857006/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-1&keywords=proofs+without+words

第二本：

https://www.amazon.com/Proofs-Without-Words-Exercises-Classroom/dp/0883857219/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-3&keywords=proofs+without+words

额。。。啥时候又出了第三本了。。。

https://www.amazon.com/Proofs-Without-Words-III-Exercises/dp/0883857901/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1470812756&sr=8-2&keywords=proofs+without+words

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