若 π 被证明是有理数会对世界有何影响？

如果突然一天圆周率的值不是无理数，而是一个有理数，那说明你可能走错空间了。

问题 1：圆周率是什么？

就是圆的周长和直径的比值：

\pi = \frac C d

问题2：圆是什么？

圆就是平面上一条简单的闭曲线：这条线上的所有点到某给定的点（也就是圆心）的距离都是给定的长度（也就是半径）。

这里面涉及到两个定义——平面以及距离，简单起见，我们只考虑距离的问题：

问题3：距离的定义什么？

x-y平面上两个点 (x_1,y_1),\ (x_2,y_2) 的距离定义为

\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

问题来了，实变分析里面关于距离的定义跟所处的距离空间（又称范数空间）有关，在p-范数空间(即 \ell_p 空间)，(x_1,y_1),\ (x_2,y_2)的距离是

\left(|x_1-x_2|^p+|y_1-y_2|^p\right)^{1/p},\quad p\geqslant 1

p=2就是我们所处的空间，半径为1的圆是

x^2+y^2=1

就是我们所熟知的圆：

p=1时， \ell_1 空间里半径为1的圆就变成了

|x|+|y|=1

画出来是这个形状，竟然是个正方形：

这个时候，圆周率是多少？直接目测就能算出来是：4，（别告诉我算出了2√2）。

稍微解释一下，图中两个顶点A、B的坐标分别是 (0, 1) 和 (1, 0) ， \ell_2 空间的直觉告诉我们AB的长度是√2，但是由于是在 \ell_1 空间，长度应该是 |x_A-x_B|+|y_A-y_B| = 1+1 =2，所以周长是8，直径是2，对应的圆周率就是4.

看看，这时候圆周率不但是有理数，还是一个整数。

看看其他范数空间中的圆：

更广泛的 \ell_p 空间内的圆周率也可以算出来，一点曲线积分的知识就可以搞定，但是比较繁琐，我查了一下，哈哈国外还真有人算过p范数空间圆周率的大小：p-范数空间里的圆周率，里面画出了圆周率随着p的变化曲线：

特别巧，\pi_p 刚好在p=2，也就是我们所处的空间中取最小值。

em... 感觉这个可以给大一新生作为兴趣课题进行研究。

PS： \ell_1-空间描述的世界会不会是这个样子的呢？？？

或者

PSS：圆的定义中，另外涉及到了平面的限定。在非欧几何中，圆的形状和性质会复杂一些，例如一个球面上的圆可以拥有两个圆心。