什么是相空间？

在牛顿力学，我们学习到牛顿第二定律 \vec F = m \vec a=m\frac{d^2\vec x}{dt^2} 这样一个重要的公式。其中， \vec F 是是在物体上的力(我们先讨论单个质点)，而 \vec a 是物体的加速度, m 是力和加速度的比例系数，叫做质量。

注意，这个公式告诉我们，经典力学系统的力学方程是有关位置的二阶导数(i.e 我们没必要知道位移的三阶导数，当然，某些广义相对论的一些运动方程是依赖高阶导数的.)，结合微分方程理论，我们必须知道物理的初始位移和初始速度才能对体系进行预测。

但是，解二阶微分方程是非常讨厌的，因此物理学家通过以下定义，将一个二阶微分方程化作两个一阶微分方程:

\[\begin{gathered} \vec F = \frac{d}{{dt}}\vec p \hfill \\ \vec p = m\frac{d}{{dt}}\vec x \hfill \\ \end{gathered} \]

这样，我们解决这个微分方程组需要的初始条件就是初始位移和初始速度，方程被有效的简化了。

那么对于我们的一个已知运动的质点，其运动轨迹就应该由六个参数来标定，他们分别是: \[x,y,z,{p_x},{p_y},{p_z}\] ，这几个参数张开的空间，就是一种相空间，但是我们生活在一个三维空间中，去表示一个6维的相空间是很困难的，我们常常选取某几个( \le 3 )坐标(或者它们的线性组合)来作图出轨迹，这样做出来的图叫做庞加莱截面。

为了讨论多质点的问题，在更深一步的理论力学中，我们利用以下方程来预言物理体系:

\[\begin{gathered} {{\dot q}_i} = \{ {q_i},H\} \hfill \\ {{\dot p}_i} = \{ {p_i},H\} \hfill \\ \end{gathered} \] ，其中 q_i 是广义坐标， p_i 是广义动量, \{\cdot,\cdot \} 是泊松括号。

注意到这个方程具有非常优美的对称性，实际上，对于任何力学量都有 \[\dot u = \left\{ {u,H} \right\} + \frac{{\partial u}}{{\partial t}} \equiv i\mathcal{L}\left[ u \right]\] ，其中 \[\mathcal{L}\] 是刘维尔算符。

而注意到大多数我们关心的力学量往往都是广义坐标和广义动量的组合，我们就可以定义一个相空间，其中的自变量分别是广义坐标和广义动量，其截面(也就是取几个坐标或者其线性组合)叫做庞加莱截面。

因此，相空间在理论力学中是一个很基本的物理事实，我下面举出两个非常简单的例子来说明为什么相空间能给物理学家一个清晰的物理图像。

e.g 1:刘维尔定理

刘维尔定理说的是，在初始时刻任意选取一块相体积(例如一个球)，在某个力学系统的演化方程的作用下，这个相体积的形状会变(例如拉扯为椭圆、矩形等)，但是体积是守恒的。

如图:

e.g 2:混沌性质

下面是一个蔡氏电路的庞加莱截面图.

具体什么是蔡氏电路和他的哈密顿描述，有兴趣的同学可以自行Wiki或者推导.下面给出(a)图的作图方法。

tspan=[0,100];  
options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-4]);  
%y0=[0.025;-0.022;0.8];  
y0=[0.025;-0.02;0.08];  
[tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0);  
plot3(yy(:,1),yy(:,2),yy(:,3))  

  view(-15.5,26);  
  xlabel('\fontsize{16}x')  
  ylabel('\fontsize{16}y')  
  zlabel('\fontsize{16}z') 

function ydot = DyDt(t,y)   
ydot=[9*(y(2)-y(1)+0.68*y(1)-0.5*(-1.27+0.68)*(abs(y(1)+1)-abs(y(1)-1)));...  
      y(1)-y(2)+y(3);...  
      -14.87*y(2)];  
end      

量子力学中的相空间是一种准概率理论，对于作图和代码有兴趣的可以看我的文章:

下面我简单的介绍一下量子力学里的相空间方法是怎么发展出来的。

首先，量子力学中类似哈密顿方程的是 \frac{d}{dt}A={i \over \hbar}[H,\,A]+\partial_tA ,我们列出其坐标和动量的方程，但是，量子力学中坐标和动量都是算符(矩阵)，不能作为坐标轴，那怎么办呢？我们可以退一步，利用最接近量子态的相干态对应的数量，即相干数来构造横轴和纵轴，其上绘出所谓的准经典概率分布。但是这样的描述一般用于玻色子，描述玻色子的相干数都是复数，因此可以把相干数的横轴和纵轴取为相干数的实部和虚部，这构成了准概率分布的重要方法，Wigner Function.

而描述费米子的相干数是Grassman代数，它的相空间描述要稍微麻烦一点，不是分布函数而是分布泛函：

从这里我们看到，对于费米子的只有不同的自旋才能取到同样的相空间的值点(泡利不相容原理)(除了真空模式)。