中华文明在过去为什么能够领先全球？

我把领先的证据写在下面，你要是看懂就自信，看不懂就自卑。

早期遗址的数量和规模

中华文明的发达清楚的表现在中国早期文明的遗址数量和规模上。下图是中国古代的几个遗址群分布，每一处遗址群的数量拉出来，都可以与苏美尔或者古印度相提并论。甚至有几个遗址群的规模更远胜于两者。

数量庞大的遗址群背后所代表的是庞大数量的人口，而支撑起人口规模的则是发达的文明程度，其最鲜明的体现在天文和冶炼方面。

发达的早期天文学（周髀算经）

中国古代祭天所在叫做圜丘，而圜丘便是中国早期天文学思想盖天说+勾股测望的体现。红山文化的圜丘遗址距今约5050年，其三环直径构成根号二的倍数关系，中国人至少在此时就已经长期的把勾股定理应用于生活当中了。古埃及人和巴比伦人在公元前2000年以前也已掌握了比1∶3更好的直径与圆周的关系，而巴比伦人至少在公元前2000年左右也已懂得了根号二。

世界各大古文明的进步，是先从方与圆开始的，而此时，西方人的野祖先“古希腊”尚在何处呢？

方与圆是如此重要，所以古人往往以方出圆，良渚玉琮便应是这一思想的体现。同时圜丘亦是一幅说明分至日行轨迹的盖天图解。

不过应该提一句，中国古代的根号二应该与古巴比伦等文明一样，是一个精确的近似值，即大于1.410，小于1.418。是通过整数的形式表现出来的。

而此时中国应已确定了十进制的计数单位，所以在中国，不尽根并没有带来像古希腊那样的危机感，也不考虑公度问题，这个问题在古希腊的毕达哥拉斯学派引起了大危机。毕达哥拉斯学派笃信任何事都能归为整数之比，故而他们把根号二的发明者丢入大海。

人类早期文明正是如此，你在某些方面有所发现的同时，在另一方面就会失去。

除此之外，祭天的另一组标配叫做方丘。

经过对中国早期祭天遗址的分析，天文考古学家给出了如下的结论和分析。

一、约公元前第三千纪，中国古人已经认识了勾股定理，并证明了它的通解公式，同时利用“弦图”的真实数据给出了3n、4n、5n的一组毕达哥拉斯三元数组。他们或许也有能力利用“弦图”给出直角三角形三边关系的另外三类证明：
1.已知勾、股、弦中的任意两项，求第三项。
2.已知弦及勾股差，求勾、股。
3.已知勾弦差及股弦差，求勾、股、弦。
二、他们已经知道二项式展开式，用“弦图”给出的基本证明是（x＋y）2=x2＋y2＋2xy。
三、他们或许知道求解不尽根，在直角三角形两腰相等的情况下，他们能够给出 根号二位于55/39和79/55的界限值之间，也就是等于1.414…。当然此值是通过两个整数之比的形式表达的。
四、他们已经产生了比的概念，知道正方形的周长与其内切圆的周长之比为4∶π。
五、他们已经掌握了做正方形的外接圆或内切圆的技术，同时知道通过圆的内接正方形求解圆面积，基本公式可能是A=DC/4 ，或者A=D方39/50 。并且通过圆内接正方形的边长与其所对应的弧长之比为9∶10的关系，取圆周率为78/25=3.12

红山文化只是中华文明的早期阶段，以周髀为代表的天文体系经过了漫长的发展，在五千年前到达成熟，留下了牛梁河的盖图，而后又被更加先进的天文体系所逐渐取代，仅沦为礼制和形式的象征。

中国古代的独特观念

当代人提到西方时往往喜欢吹捧古希腊的几何学，将之视为现代文明的源头。古希腊几何学的发达和他们静态上的空间思维有关，而中国文明从一开始，就把时间和空间结合了起来。

华夏先民是通过天文观测来确定大地方位的，所以空间上的各种方位都被融入到了数字之中，形成了所谓的河图洛书。

乃至于后来的人作勾股定理的证明时也是通过计算的方式得出的，即朱方，青方之类的。无论如何，仅仅是代数的发达，不足以诞生现代数学，单凭古希腊那记数方法所诞生出来的几何学，也不足以诞生现代数学。

现代数学是建立在阿拉伯文明大翻译运动的基础上的，是融汇中西所有文明的成果，而由于西方人最落后，也最容易受到入侵，就接受了各种文明的先进成果。

另外中国在宋元时期文明继续进步，尤其是自北宋理学家以来对科学的探究，继续发展下去，中国实有可能发展出现代科学，然而可惜受元末明初的制度变革影响，打断了这一发展趋势，大明前期和大清前期中国文明都出现了倒退而不是进步。

发达的制陶技术和青铜冶炼技术

如果说天文学和数学上的发达还需要一双慧眼去仔细分析，制陶和青铜冶炼技术的先进就可以用更加直观的形式展现出来。

比如灵宝6000年前的制陶遗址，遗址出土陶窑31座，其中一座竖穴式升焰窑堪称同时期‘最先进’，窑室底部一周有11个圆形火眼，火门、火膛、窑箅等结构完整，是迄今发现保存最好的仰韶早期陶窑。

除了各地发掘出来的陶器遗址之外，各大博物馆里也都收藏了精美的陶器。

如果说在青铜文明之前的阶段，东西方还各有千秋（注：主要指今中东地区）

那么随着中国第一个王朝文明——二里头文化的诞生，青铜冶炼技术的黑科技被彻底点亮。

中国开启了几千年的领先之路。

二里头遗址发现的大型青铜器铸造作坊，包括浇铸的工场、可能用于烘烤陶范的陶窑、预热陶范的房子等，中有坩埚和大熔铜炉，亦有大量陶范，其中铜爵，至少是四块合范铸成。

二里头遗址出土的两件铜爵，其中Ⅱ式铜爵是科学发掘品中的第一件，其造型独特，三棱锥足外撇，是另行铸造后再与器身嵌接在一起的。说明二里头文化时期的人们己掌握了青铜冶铸技术，不但会使用单范铸造，而且已掌握并使用了在当时属于先进的复合陶范分铸法。

与西方相比，中国的青铜器铸造技术，不仅更节省人力，方便于大规模使用，亦便于铸造极度精美且巨大的青铜容器。类似于司母戊鼎那样的大神器，西方是绝对没有的。

与中国相比，由于西方长期没有点亮青铜器的先进技术，所以他们的青铜器长期处于低水平的阶段。

先进的青铜器铸造技术加速了工具的普及，工具的普及促进了社会形态的变化。

这就导致，中国在商朝末年，就处于奴隶制崩溃的阶段（其社会形式类似于罗马末期），而西周就不得不采用封建领主制和井田制（西方中世纪初期）。

虽然中国本土青铜器不排除是南方起源的可能，但青铜器技术更有可能是从西方传来的，但是中国发达的制陶技术和青铜器技术结合才催生出领先于西方的夏商周青铜文明。

而青铜冶炼技术的先进，又保证了冶铁技术的先进。

东周两汉的继续领先

中国大致又在东周时期点亮了冶铁技术，现存众多东周时期规模庞大，技术先进的冶铁遗址无不证明了这一点。学术上的繁荣，战争上的发达都表现出这一时期中华文明的领先程度，这主要源于以下几点的影响。

铁犁牛耕的推广

犁可能不是中国的产物，因为最早的犁出现于中东地区，而牛更是中东地区所驯化的。但这不妨碍铁犁牛耕在中国的迅速推广。

中国六合东周墓的铁条是块炼铁锻成的，铁丸是白口铁铸造的。为目前鉴定的世界最早的生铁，比欧洲生铁的出现要早1800多年。

湖北铜绿山矿场已经出现了高炉，虽然当时主要用来炼铜，但后来很快就推广到了冶铁业。古罗马所用的最原始的块炼铁技术和汉朝耐火砖堆砌的几层楼高的百吨炼铁炉完全不能相比。

中国这种炼铁炉一天出铁几百几千斤，多的要几十人同时操作水利、风力或人力鼓风机，然后一年365天，除了休假不带停的炼铁，一个冶铁厂动辄十万、二十万、三十万、甚至四五十万平米，类似的冶铁遗址，在中国有几十个。

湖南桑植朱家台发现有西汉晚期至东汉前期的铸铁遗址,该地汉代属武陵郡充县,但史书未载武陵郡设有铁官。况且,汉代的冶铁遗址的考古发现将随着时间的推移而不断增多。因此,当时的铁工场可以说遍布全国各地。《汉书.贡禹传》载,汉元帝即位(公元前48年)之初,贡禹曾上书说:“今汉家铸钱,及诸铁官皆置吏卒徒,攻山取铜铁,一岁功十万人已上”。有学者据此推算西汉后期常年有7万人的“钢铁大军”，钢铁年产量约为4万吨

——《先秦两汉铁器的考古学研究》白云翔

无论是从遗址的规模，还是技术的先进程度，中国古代的冶铁技术都远远领先于西方，直到蒙古入侵以后，西方人才逐渐引入高炉。而直到工业革命时期，即我大清时期，西方冶铁业才超过中国。

从各种工艺生产的铁器数量来判断,汉代冶铁的基本工艺是:生铁冶铸一脱碳退火。它比欧洲十八世纪前冶铁生产中普遍采用的块炼铁一锻造工艺，无论在生产效率上或者质量上都优越得多。
——《汉代河南铁器的金相普查》北京钢铁学院科研处冶金史组
古荥汉代冶铁遗址为我们研究古代冶金史提供了如此生动而丰富的材料,它表明在一千八百年以前,我国生铁冶炼和加工工艺大致达到了西方十七世纪的水平,而且具有独创的民族风格,走着自己发展的道路
——《从古荥遗址看汉代生铁冶炼技术》中国冶金史编写组

冶铁业的发达就带来了农业生产和军事技术上的进步，铁犁牛耕的迅速推广使得两汉时期中国人口到达了五千多万的规模。

东汉时期更是出现了突骑，突骑又经过魏晋时期的残酷战争，演变成了具装骑兵——西欧中世纪末期的骑士或拜占庭的重骑兵。

高素质官吏管理

秦汉大一统帝国的社会模式，更接近于西方近代社会，而不是罗马帝国和西欧中世纪。高素质的官僚队伍要负责大规模的税收统计工作，在此基础上，中国的诸多学术成果业纷纷涌现。

造纸术，源于东汉宦官，浑天说，在东汉太史令张衡手中发扬光大······熹平石经，印刷术的源头来自于蔡邕的建议。

在这些光鲜亮丽的成就背后，是高素质的官僚队伍们的日常工作。

由于文献的缺失，所以上个世纪的中国人往往以为中国古代没有理性观念，因而不重视数学，乃至于不记载数学家。而后来的诸多简牍文献则反驳了这一点，古希腊的数学家都是奴隶主贵族的哲学家，这对应的是夏商乃至更早的时期，即那些上古圣王们。而中国两汉时代的数学家，则是处理各种日常事物的官吏。

<田律>、<厩苑律>、<仓律>、<金布律>、<关市>、<工律>、<工人程>、<均工>、<徭律>、<司空>、<置吏律>、<效>、<军爵律>、<传食律>、<行书>、<内史杂>、<尉杂>、<属邦>
粟一石六斗大半斗，舂之为粝米一石；粝米一石为糳米九斗——<睡虎地秦简>
粟米之法：粟率五十；粝米三十;稗米二十七——<九章算术.粟米>

这些官吏们每个人都要处理大量的数据，管理辖区内众多的人口，所以对这种“大数据”的处理也成了他们日常的事物。

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、 中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗 之一。下禾一秉二斗四分斗之三。“群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率“——<九章算术.方程>
东汉时期，这种对农业产量的细化审计过程，极大的刺激了此时统计数学的发展。在同一个地方，由于田地肥沃程度不同，施种技术，培育投入的不同，不同的地块所产出的稻谷质量也不同，很可能同一个纳税户的田地就会出产质量完全不同的稻谷。于是东汉的官吏，就在度稼测算税田面积的基础上，再将禾苗的生长质量考虑进去，对不同的田地划分成，上禾，中禾，下禾，每一种质量的禾产量各不相同。为了确定不同质量的稻谷的最终干禾产出比率，就需要进行更加复杂的分层抽样统计。
我们可以看到，<九章算术.方程>章中有大量测算各种品质稻禾的算题，其实就是就是由这种抽样审计过程产生的。
······
像秦彭这样在五月亲自度田以收集秋收时的审计数据，他们所面对的数据的计算量极其巨大的。面对这些海量的“大数据”, 汉代的官吏发展出了一整套数理统计算法，他们懂得如何利用几何方法进行产量估算，如何利用线性代数的方法进行抽样，他们甚至还懂得如何进行分层抽样，以降低抽样误差。<九章算术>整本书，实际上是一整套数理统计算法汇总，而这种数理统计算法的根植于正是汉代政府精细的产量分成税制。

然而，随着晋末的动乱，北方的土地制度改为均田制，官吏们所应对的事物也发生了变化。

随着产量分成税转向人头定额税，各层官吏的职责由监督农民劳动生产产量演变为登记人口户数。因此<九章算术>中各种复杂的线性代数算法在南北朝隋唐四百年间自然而然地逐步退化直至被官吏阶层们遗忘。这就是为什么<孙子算经><张建邱算经>这些北朝数学专著中都不再讨论<方程>等高级代数问题的原因。
另一方面，随着均田制的产生，各层官吏的职责由度田举苗演变为授田还田，这使得几何学也出现了粗陋化的倒退趋势。在汉代由于土地是长期私有制的，因此地形和边界在漫长时间内的变化是不大的。税收总量作为汉代官吏考核重要指标，取决于农作物的单位产量和实际播种面积，因此在产量分成制下对边界恒定的土地反复进行测量计算以追求精密准确的田亩面积，是汉代官吏的工作重心。

所以到了南朝继续发展的数学，到了北朝发生了停滞，乃至于祖冲之的缀术为隋唐之人所遗忘。

官吏与中医

我们上面已经提到了中国官吏擅长用统计的方式来处理海量的数据，那么东汉末年的另一项伟大成就便是这一群体的最璀璨之星。

张仲景，南阳人，长沙太守，他面对极度惨烈的汉末大瘟疫”余宗族素多，向余二百。建安纪年以来，犹未十稔，其死亡者，三分有二，伤寒十居其七。“

悲痛之下，他又不满于当时因循守旧的各家医师，统计分析了当时的众多疾病在人体的表现症状，形成了一套成体系化的中医体系。

观今之医，不念思求经旨，以演其所知，各承家技，终始顺旧。省疾问病，务在口给，相对斯须，便处汤药，按寸不及尺，握手不及足，人迎、趺阳，三部不参，动数发息，不满五十，短期未知决诊，九候曾无仿佛，明堂阙庭，尽不见察，所谓窥管而已。夫欲视死别生，实为难矣！
孔子云：生而知之者上。学则亚之。多闻博识，知之次也。余宿尚方术，请事斯语。

张仲景在中医中的地位犹如牛顿，他主要是通过总结人体的诸多表现，如发热恶寒，热多寒少，脉微弱者，此无阳也，不可更汗，宜桂枝二越婢一汤方。

虽是总结人体的体征表现，却也不是僵硬的数据统计，而是分析到复杂的病症在人体的诸多演化过程，然后再做出应对。

伤寒脉浮，自汗出，小便数，心烦，微恶寒，脚挛急，反与桂枝汤，欲攻其表，此误也。

虽未能尽愈诸病，庶可以见病知源，若能寻余所集，思过半矣。

张仲景的《伤寒杂病论》既蕴含着当时数据分析上的思想，也受当时天文思想观念的影响。

他主要是从时间的角度上来分析疾病的，即把握到人体在病程不同阶段的反应和变化，这种反应和变化自然是多元的。

不仅疾病不同，甚至同一疾病，在不同季节，人体的不同阶段，都会产生不同的反应。

所以张仲景便因此给予不同的治疗措施，虽然他所用的术语，在文言文水平浅薄的当代人看来，是玄虚和难以理解的。

但这只是所谓外行人的偏见，无论是阴阳，还是五行，都是借用其他术语来表示疾病罢了，难道说中国火箭发个天宫一号，也能叫做迷信？

在中国，想要去验证中医的是非是很简单和容易的，中国各地都有中医药，但凡愿意进去看看他们治疗各种疾病的成果，那些汤药喝下去病人是个什么变化，就知道中医的是非对错了。

真正普世的东西是无分东方和西方，明末西方天文学传入中国后，那群明朝士大夫甚至一度以为这些东西是周朝末年失传，流亡海外的。

中医和西医，在以后，随着大数据的发展和人类对人体的认识提高，一定会融合为真正的现代医学。

那个现代医学不仅会为感冒找病因，而且会关注到人体在感冒不同阶段的表现，从而给出最优解的用药原则。

中华文明圈对外域的降维打击

中华文明圈的长期领先和内卷，也产生了一些迁往域外的失败者——如果说中国文明是落后的，这些失败者会湮灭于历史长河，然而，与之相反，由于中国文明的领先。

大月氏成为了中亚地区的霸主，覆灭了希腊化政权——”大夏“

大夏本无大君长，城邑往往置小长，民弱畏战，故月氏徙来，皆臣畜之，共禀汉使者。

西迁的北匈奴与诸多部落融合，成为了上帝之鞭

当年汉使到达压着罗马揍的帕提亚帝国时，对其感想有一句很辣眼的”兵弱“。

天子既闻大宛及大夏、安息之属皆大国，多奇物，土著，颇与中国同俗，而兵弱，贵汉财物；

实际上这才是正常的历史印象，要知道中国当时的兵器已经开始用钢铁了，而罗马还以青铜器为主。

在罗马人的历史中，有一项进口物资叫做中国铁，是最优秀的铁，实际上这种东西产自印度。当然，印度的冶铁亦不能与中国相比。

北朝——唐代——宋元的长期领先

虽然晋末原有的文明体系遭遇了一次大崩溃，但中华文明并没有因此一蹶不振，而是继续发展，唐代的天文学蕴蓄着新的动力，而北宋理学更开启了新的时代。

北朝

中国原有的社会组织崩溃后，建立起了新的组织形式，这种形式更粗糙和直接，这虽然是对原有的高度精细化的组织的倒退，但亦不失为一种新生。

东汉王朝以货币赏赐更多的取代土地赏赐已经孕育了资本主义的新形态，然而这种形态在汉末征战中遭到了彻底的破坏，中国甚至一度又退回到了以物易物的经济形式。

直到北魏的建立，乃至孝文帝的改革，北朝才逐渐的开始孕育出一套高效的社会形态，虽然这一时期，众多的文明成果都在南朝，而不在北朝。

但新的发展动力已经在孕育，张子信经历北魏、北齐两个朝代，以“学艺博通，尤精历数”（《隋书·天文志》）闻名于世。他在北齐时曾为“学士”。

他为了躲避农民起义的影响，跑到了某一海岛隐居起来。在海岛上，他制做了一架浑天仪，专心致志地测量日、月、五星的运动，探索其运动的规律。

在这一相对安定的环境中，他孜孜不倦地工作了30多年。在取得大量第一手观测资料的基础上，张子信还结合他所能得到的前人的观测成果，进行了综合的分析研究。大约在公元565年前后，他敏锐地发现了关于太阳运动不均匀性、五星运动不均匀性和月亮视差对日食的影响的现象，同时提出了相应的计算方法，它们在中国古代天文学史上是具有划时代意义的事件。

他的这一发现，虽然落后于汉代的巴比伦人，但会是中国下一阶段学术进步的重要基石。

具体的原因是，中国人观测采用赤道坐标，希腊人采用黄道坐标。所谓黄道坐标就是地球绕太阳轨道平面在天球上的切出大圆，它本身是太阳视运动的轨迹。中国人的赤道系统是以南北极为轴以与地球赤道相平行平面做的二十八宿为天赤道。这个坐标系和黄道有一个夹角，在这个坐标上观察太阳运动速度的变化率会被三角函数变换所掩盖。

如隋代大儒的刘焯。（曾有人借刘焯被排挤来说明儒学对科学的迫害，这就是一种误解，其实刘焯本身就是以此闻名的大儒，他只是在辩经中得罪人了。）

刘焯把一生的研究成果都写进了《皇极历》这一部历书中，其中最伟大的成就是提出等间距二次内插公式，这在世界上是第一次。

一、在《皇极历》中，他首次考虑视运动的不均匀性，并主张改革推算二十四节气的方法，废除传统的平气，使用他创立的定气法。这些主张，直到1645年才被清朝颁行的《时宪历》采用，从而完成了中国历法上第五次也是最后一次大改革。
二、刘焯力主实测地球子午线。源起是中国史书记载说，南北相距1千里的两个点，在夏至的正午分别立一八尺长的测杆，它的影子相差一寸，即“千里影差一寸”说。刘焯第一个对此谬论提出异议。后于724年，唐张遂等才实现了刘焯的遗愿，并证实了刘焯立论的正确性。
三、他较为精确地计算出岁差(假定太阳视运动的出发点是春分点，一年后太阳并不能回到原来的春分点，而是差一小段距离，春分点遂渐西移的现象叫岁差)，定出了春分点每75年在黄道上西移1度。而此前晋代天文学虞喜算出的是50年差1度，与实际的71年又8个月差1度相比，刘焯的计算要精确的多。唐、宋时期，大都沿用刘焯的数值。

唐代

唐代是中国的一个鼎盛时期，疆域辽阔，武功昌盛，擒阿史那贺鲁于石国，献俘昭陵，俘阿史那都曼于锡尔河，献俘洛阳。疆域最大时西至于波斯东部，以至于波斯王子都逃亡中国寻求庇护和复国。

阿史那家族是突厥皇室，虽然突厥汗国在中国的名声尚不及匈奴，因为被唐代揍得太惨了，可在西方却是赫赫威名，昔日奥斯曼帝国，今日土耳其，都想要认突厥人做野爹，突厥人也确实在西方建立起了一个个的王朝。

比如塞尔柱帝国（土耳其语：BüyükSelçukluİmparatorluğu；波斯语： ；‎1037年—1194年），是11世纪塞尔柱突厥人在中亚、西亚建立的伊斯兰帝国，亦称塞尔柱王朝。1071年，图格里勒伯克之侄和继承者阿尔普－阿尔斯兰（1063-1072在位）在曼齐克特大败拜占廷军，俘获拜占廷皇帝罗曼努斯四世，于是拜占廷所属小亚细亚大部分地区尽归其手。马利克沙在位时（1072-1092）是塞尔柱帝国极盛时期。

当然，此时业已历经中晚唐的藩镇割据，五代十国的动乱，是北宋王朝时期了。

宋元

北宋虽然军事上不行，但是在文化上确实达到了极致，出土的北宋人骨显示，北宋时期的平均寿命亦远过于汉唐，达到了一个很高的水平。至于北宋打不过辽金，那和中晚唐时期各少数民族受中原文化影响，而产生的文明飞跃有很大关系。

当代出土的东北地区辽金冶铁显示，当时的辽金民族都达到了很高的水平，远超当时的西方诸民族。以至于北宋末年，辽人西迁后还能建立一个西辽王朝，成为中亚霸主。

1141年9月9日会战。桑贾尔军虽先声夺人，取得了一些胜利，但西辽军队越战越猛，桑贾尔的妻子、两翼指挥官及著名伊斯兰法学家胡萨德·奥玛尔被俘，桑贾尔侥幸逃脱。桑贾尔军队伤亡惨重，死亡总数达三万人。耶律大石以少胜多，获得大胜并占领了西喀喇汗都城撒马尔罕 [24] 。
塞尔柱王朝苏丹桑贾尔带着喀喇汗王朝马赫穆德汗，仓皇逃奔忒耳迷（今乌兹别克斯坦的捷尔梅兹），渡过阿姆河，进入呼罗珊，从此塞尔柱王朝退出河中地区。耶律大石领兵进入撒马尔罕。耶律大石让西部喀喇汗王朝继续统治河中地区，并封马赫穆德汗的弟弟伊卜拉欣为桃花石汗，留下一名沙黑纳，监督其统治。耶律大石把西部喀喇汗王朝变为自己的附庸之后，便派大将额儿布思进军花剌子模国。额儿布思进入花剌子模后，大肆屠杀平民，洗劫村落，迫使花剌子模的沙阿即思投降。阿即思向他表示愿效忠菊儿汗和交纳年贡三万金狄纳尔及其他贡品。缔结条约后，额儿布思从花剌子模撤军。
康国十年（1143年），耶律大石去世，在位二十年，庙号德宗。

宋朝时期承袭中晚唐时期的思索，儒学有了一次重大的进步和转型。

商周以前的中国哲学是以天道为主，而孔子之后，”性“与”天道“成为了儒学的中心。

但这样的儒学，依然是和天文学紧密结合的，包含了大量”神学“的成分，汉之经学，近似于一种神圣化的宗教。

但在东汉以来，这种与天文纠扯不清的儒学，受到佛学的极大冲击，在儒学世界观里面，天地的中心是洛阳，天子处中国以治万邦，而佛学则言是中印度。

到了北宋理学之后，他们不再讨论地理的中，宗教的中，而是变为了人之中，理之中。

对真理的求索，也影响到了北宋的数学界，此时的数学相较于之前，有了更多理论上的探索和进步。

一个文明本没有的东西，会通过另一种方式来补全，这个时候的邵雍也开始了类似于古希腊毕达哥拉斯学派那样，对数的痴迷。

他在渔樵问对里面也开始讨论各种事物的性质，区分其不同。

文明的进步正在于区分和辨明，然而比起结果，更重要的是区分的问题之端。

这种思索也形成了一个学术圈子，这种学术圈子自然也包括了数学家，像李冶这样的数学家可以授徒讲学，并以此为生。

以往那种所谓中国古代数学只依赖一两个伟人，没有学术传承的观点，实在荒谬。

没有数学的土壤，就不可能有奇才和伟人出现。

古希腊是无所事事的奴隶主哲学家，秦汉是封建官吏，而北宋便是文人阶层。

他的主要成就便是天元术。

经过北宋贾宪、刘益等人的工作，求高次方程正根的问题基本解决了。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱。但直到李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算烦琐。例如李冶在东平（今山东省东平县）得到的一本讲天元术的算书中，还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂，它“以十九字识其上下层，曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。”这就是说，以“人”字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂（最高为九次），入以下九字表示未知数的各负数次幂（最低也是九次），其运算之繁可见一斑。从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看，天元术的作用还十分有限。李冶则在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。

宋金/南宋元时期是中华文明磅礴发展的时期，当时”尊崇算学，科目渐兴“，中国社会上已经形成了一批以数学为生的人，因此才有各种学术上的交流。

朱世杰曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵（今扬州）时“踵门而学者云集”。

元代数学家朱世杰，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。
朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。

明清两代的拉跨和落后

可惜的是，这种繁荣发展的景象被历史打断了。明朝初期的统治者为了维护自己的统治，采取了一批倒行逆施的统治政策，逆历史潮流而为，严重阻碍了中华文明的进步。

明朝初期

明朝朱元璋对中国的社会制度进行一系列的重大改革，包括恢复分封制度，恢复殉葬制度，实行严密的人身控制制度，恢复世袭制。

明朝户籍制度将全国户口按照职业分工，划为民户、军户、匠户等籍，民户务农，并向国家纳农业税、服徭役；军户的义务是服兵，匠户则必须为宫廷、官府及官营手工业服劳役。明朝的匠户比元朝过得还要悲催，全国十几万匠户家族都要免费为官府提供劳役，更重要的是明朝匠户比元朝更加缺乏上升空间，不仅不能参加科举，而且也不能向元朝那样通过资历和手艺晋升为基层官吏，这就使得明朝的工匠在为官府制作各种物品、包括武器时都极度缺乏动力和责任心，官府生产的产品质量除了部分皇家御用品之外都十分低下。

大明民户里面有儒，有医，有阴阳。

其阴阳便包括中国古代的数学家，虽然明代户籍制度参考了元代，但人口控制程度尤其过之。

这种设立出专门户口，让数学家们世袭的制度，除了满足明代政府治理需要外，严重阻碍了中国科学的发展。

人员永不许迁动，子孙只学天文历算，不许习他业；其不习学者，南海充军。

数学家的后代未必喜欢数学，而那些想学习的，则受于禁令，不可自学。

国朝私习天文，律有禁，故臣等不敢习

禁止阴阳生参加科学后，更是降低了数学家的社会地位。北宋时期的数学家都是大儒，北宋诸儒都喜欢炫耀自己的天文学知识，而到了明代，儒者不问数理，只是空谈心性。

阴阳生原本还有科举出仕一途，但为杜绝阴阳生不务本业，弘治五年禁止阴阳生参加科举考试：“天文生、阴阳人，例不许习它业者，皆不许入试。”弘治十五年（1502年）钦天监监正吴昊为之求情：“至天顺初，天文生、阴阳生奏比医士、（医）生等科举，历四十余年，科不乏人……乞敕礼部从公会议，仍照太医院例，复其科举以激励之。纵未能中式，亦可以为占步之助。”

明代初年回回历传入中国，这本身是一个中西融合，形成一套新的历法体系的好机会，可大明这拉跨的科学界现状，又怎么能玩成这一重任呢？连宋时的天元术到了明中叶已经失传，无人可懂了。

回回历和授时历各有优劣。明末中西历法比较日食精度，西历是平均误差12分钟，大统历平均误差23分钟，回回历平均一小时。中国历法的内容是相当多的，从太阳的运行、日食、月亮的运行、月食、年份长短、节气安排、五星运动、恒星表……授时历在这些方面整体做的很好。
我看过的是日月方面授时历和回回历各有优劣，但整体是授时历占优，行星运动理论方面，外行星授时历和回回历各有优劣，但是回回历在内行星更佳，其余的年份长短啊之类的都是授时历更优，还有数据方面因为郭守敬四海测验，数据也是比回回历更新。虽说扎马鲁丁带来了回回历，尤其是朱元璋也很重视，上天给了两百五十年时间，足以给授时历（中国古典天文学）和回回历（托勒密天文学）进行融汇贯通，结果竟是一点进步都没有……最后在清初，都被第谷体系所取代……

明朝中晚期

明朝中期开始，明初的户籍制度逐渐崩溃，又加之资本主义萌芽的发展，数学才又重新兴盛起来。这一时期中国民间的数学书籍，颇类似于文艺复兴初期。十分重视实用，服务于现实的经济发展需要。

同时，这一时期，西方传教士入华，也带来了西方最新的科学成果，在这一时期，在很多领域，西方人已经领先于中国了。

但中国尚且可以迅速的弥补和吸收，徐光启等人称赞利玛窦为西方之大儒，西方来华的传教士也对中国赞不绝口，将中华文明的诸多典籍翻译到西方，掀起一股中国热，深刻影响到了启蒙运动。

如果说有些历史具有确实可靠性，那就是中国人的历史。正如我们在另一个地方曾经说过的：中国人把天上的历史同地上的历史结合起来了。在所有民族中，只有他们始终以日蚀月蚀、行星会合来标志年代；我们的天文学家核对了他们的计算，惊奇地发现这些计算差不多都准确无误。其他民族虚构寓意神话，而中国人则手中拿着毛笔和测天仪撰写他们的历史，其朴实无华，在亚洲其他地方尚无先例。——伏尔泰
当迎勒底人还只是在粗糙的砖坯上刻字时，中国人已在轻便的竹简上刻字，他们还保存有这些古代的竹简，外面涂着清漆不至于腐烂，这可能是世界上最古老的文物了。中国人在撰写帝王历史之前，没有任何史书。不像埃及人和希腊人，中国人的历史书中没有任何虚构，没有任何奇迹，没有任何得到神启的自称半神的人物。这个民族从一开始写历史，便写得合情合理。他们与其他民族特别不同之处就在于，他们的史书中从来提到某个宗教团体曾经左右他们的法律。中国的史书没有上溯到人类需要有人欺骗他们、以便驾驭他们的那种野蛮时代。其他民族的史书从世界的起源开始：波斯人的《真德经久，印度人的《法典及、《吠陀》，桑科尼雅松、玛内通，直至赫希俄德，全都上溯到万物的起源、宇审的形成。这种狂妄性，中国人一点也没有。他们的史书仅仅是有史时期的历史。这里有一个对我们来说尤其重要的原则，即：如果一个民族最早的编年史证明确实存在过一个强大而文明的帝国，那么这个民族一定在多少个世纪以前早就集合成为一个实体。中国人就是这样一个民族，4000多年来，每天都在写它的编年史。而要掌握人类社会所要求的各种技艺，要做到不仅会写而且写得好，那么所需要68的时间势必比中华帝国仅从伏蔡氏算起存在的时间更长。这一点如果看不到，岂不又是一件荒唐事？中国没有一个读书人会怀疑《五经》是在公元前2300年写成的。因此，这一不朽巨著要比卡利斯泰纳送到希腊的巴比伦天文观测记录早4000年。中国所有官府都认为真实的一部书，巴黎的文人学士却怀疑它的年代，说实在的，这样合适吗？对于人类来说，不论在哪一方面，掌握最基本的知识要比取得巨大进步来得缓慢。我们可以回忆一下，500年前，不管是在北欧，在德国，还是在我国，还几乎没有一个人会写字。今天我们的面包商还使用着的刻记陈售面包数量的木筹就是我们过去的象形相攻汗，给果是狂热信徒在叛逆者的引领下彼此兵戎相见。中国人特别在这方面胜过世界上的任何其他民族。他们的孔子不创新说，不立新礼；他不做受神启者，也不做先知。他是传授古代法律的贤明官吏。我们有时不恰当地把他的学说称为"儒教"，其实他并没有宗教，他的宗教就是所有皇帝和大臣的宗教，就是先贤的宗教。孔子只是以道德谆谆告诫人，而不宣扬什么奥义。在他的第一部书中，他说为政之道，在日日新。在第二部书中，他证明上帝亲自把道德铭刻在人的心中；他说人非生而性恶，恶乃由过错所致。第三部书是纯粹的格言集，其中找不到任何鄙俗的言词，可笑的譬喻。孔子有弟子5000，他可以成为强大的党派的领袖，但他宁愿教育人，不愿统治人。
——伏尔泰
中国在查理曼时代和在此很久以前都不仅疆域辽阔，而且人口众多。据我们所知的最后一次在中国本土15个省进行的人口统计，能打仗的男人多达6000万人，老兵、60岁以上的老人、20岁以下的青少年、官员、和尚、大批的士人都不算；妇女更不计在内。而妇女的数目，根据更为准确地统计世界人口的人的观察，到处都与男人相等，至多相差不过1／15或1／16。按这一计算，中国的人口似乎不会少于1．5亿；而我们欧洲的人口，按法国2000万、德国2200万、匈牙利400万、整个意大利直至达尔马提亚②1000万、大不PJ n和爱尔兰800万、西班牙和葡萄牙800万、俄国欧洲部分1000万或1200万、波兰500万、土耳其欧洲部分和希腊及列岛也是500万、瑞典400万、挪威和丹麦300万、荷兰及邻近的低地国家约400万计算，总共不过1亿多一点。
——伏尔泰
然而谁人过去曾经想到，地球上还存在着这么一个民族，它比我们这个自以为在所有方面都教养有素的民族更加具有道德修养？自从我们认识中国人之后，便在他们身上发现了这点。如果说我们在手工技艺方面能与之相较不分上下，而在思辨科学方面略胜一筹的话，那么在实践哲学方面，即在生活与人类实际的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见绌了。——莱布尼茨
狄德罗写道：“从历史、民族精神、艺术、智慧、政治等方面来看，这个民族要优于其他民族。”
莱布尼茨曾经试图使中国和欧洲之间的文化交流成为可能，为促进这一交流，他建议俄国沙皇修建一条从俄国通往中国的陆路。

就在西方人认识到中国的先进之处时，他们也见到了中华文明的落后，当时已经是大清了。

奇怪的是，这个有发明能力的民族在几何学方面从没有超出基本知识的范围。确实，中国人比希腊的欧几里得在亚历山大城撰写几何学原理前好几个世纪已经具有这方面的基本知识。康熙皇帝曾告诉御前的最博学、最阴达的传教士之一帕尔南神甫，在3960多年前，禹帝曾利用直角三角形的原理来测定一个省的地理位置帕尔南神甫本人还引证过一本公元前1100年写的书，表明在西方认为是毕达哥拉斯发现的那个著名的理论是中国人很久以来便已熟悉的一个定理。
人们要问，既然在如此遥远的古代，中国人便巳如此先进，为什么他们又一直停留在这个阶段，为什么在中国，天文学如此古老，但其成就却又如此有限；为什么在音乐方面他们还不知道半音？这些与我们迥然不同的人，似乎大自然赋予他们的器官可以轻而易举地发现他们所需的一切，却无法有所前进。我们则相反，获得知识很晚，但却迅速使一切臻于完善。他们由于轻信，总是把他们错误的占星术跟天文学的真正知识混清在一起，这是不足为奇的。这种迷信是一切人所共有的，我们纠正这一谬误为时也并不久，可见谬误似乎是人类所固有的东西。——伏尔泰
他们有指南针，但并未真正用以指引船舶航行。他们只是在近海航行。他们的土地能提供一切，用不着像我们这样奔赴天涯海角。罗盘，就像发射用的火药一样，对他们来说，只是纯粹的玩物，他们也不因此感到可惜。——伏尔泰

老实说，看了伏尔泰的言论，就很容易能理解那些双标的人，因为伏尔泰正和当代的中国公知们一样有着双标的缺点。

跟其他地方一样，中国也存在各种不良行为，但这些行为肯定会因法律的约束而更有所抑制，因为他们的法律始终如一。《海军上将安森回忆录》的博学的作者因广州小民曾经想方设法欺骗英国人，便鄙视和讽刺中国人。但是，难道可以根据边境群氓的行为来评价一个伟大民族的政府吗？假如中同人在我们沿海遇到船难，根据当时欧洲国家的法律可以没收沉船的财货，而按照习惯又允许杀死货主，那么中国人又将怎样评论我们呢？
中国人的无休上的各种礼节妨碍了社交来往，只有有深交的人才可以在室内免除这些繁文得节。然而这些礼节可以在整个民族树立克制和正在的品行，使民风既庄重又文雅。这些优秀品德也普及到老百姓。持一些传教士说，公共市集上的拥挤和混乱，如果是在我们这里，就会引起粗鲁的吵闹和经常发生无礼举动；但在中国传教士往往看到农民按当地的习惯，彼此作揖，为给对方造成麻烦而请求原谅，他们互相帮助，心平气和地解决一切问题。

清朝初中期

清朝初中期，中华文明再度迎来了明初一样的厄运，陷入了各种停滞之中，乃至于标志性的殉葬之风亦再度兴起于中国。

这本质上是由于大清的性质所导致的，它代表的是最腐朽的汉族地主阶级和满清贵族们的利益。腐朽的汉族地主，在明末农民起义中残酷的镇压农民军，并且在难以抵挡农民军的情况下，选择引入清朝来维护自己的阶级利益。

这也就难怪大清初期的社会倒退。

清朝晚期

明清的两次社会拉跨绝不等于中华文明本身的“长期落后”，实际上，随着世界文明交流的日益频繁，各大民族的发展速度都有了加速。

如果明初的中国人有一个正常的社会环境，宋元以来的发展势图就不会被打断，阿拉伯的天文学和中国天文学未必不能融合为新的体系。

如果清初的中国有一个正常的坏境，明中期以来的求索乃至于对西方的学习就会继续进行，中西方会以一种更平等的态度进行交往。

下面的李善兰就是一个可惜的例子。

李善兰自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。他资禀颖异，勤奋好学，于所读之诗书，过目即能成诵。
9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著——《九章算术》，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。 [2]
14岁时，李善兰又靠自学读懂了欧几里得《几何原本》前六卷，这是明末徐光启（1562—1633）、利玛窦（M．Ricci，1522—1610）合译的古希腊数学名著。欧氏几何严密的逻辑体系，清晰的数学推理，与偏重实用解法和计算技巧的中国古代传统数学思路迥异，自有它的特色和长处。李善兰在《九章算术》的基础上，又吸取了《几何原本》的新思想，这使他的数学造诣日趋精深。

几年后，作为州县的生员，李善兰到省府杭州参加乡试。因为他“于辞章训诂之学，虽皆涉猎，然好之总不及算学，故于算学用心极深”（李善兰《则古昔斋算学》自序），结果八股文章做得不好，落第。但他却毫不介意，而是利用在杭州的机会，留意搜寻各种数学书籍，买回了李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》，仔细研读，使他的数学水平有了更大提高。 [2]
海盐人吴兆圻《读畴人书有感示李壬叔》诗中说：“众流汇一壑，雅志说算术。中西有派别，圆径穷密率．”“三统探汉法，余者难具悉．余方好兹学，心志穷专一。”许祥《硖川诗续钞》注曰：“秋塍（吴兆圻）承思亭先生家学，于夕桀、重差之术尤精．同里李壬叔善兰师事之。”看来，李善兰曾拜吴兆圻为师，学习过数学。 [2]
李善兰在故里与蒋仁荣、崔德华等亲朋好友组织“鸳湖吟社”，常游“东山别墅”，分韵唱和，其时曾利用相似勾股形对应边成比例的原理测算过东山的高度。他的经学老师陈奂在《师友渊源记》中说他“孰习九数之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便易稽考”。余楙在《白岳诗话》中说他“夜尝露坐山顶，以测象纬踌次”。至今李善兰的家乡还流传着他在新婚之夜探头于阁楼窗外观测星宿的故事。
1840年，鸦片战争爆发，帝国主义列强入侵中国的现实，激发了李善兰科学救国的思想。他说：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。”“异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震摄，奉朝贡．”（李善兰《重学》序）从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。
1845年前后，李善兰在嘉兴陆费家设馆授徒，得以与江浙一带的学者（主要是数学家）顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。其后，又撰《四元解》、（麟德术解》等。
1851年，李善兰与著名数学家戴煦（1805—1860）相识．戴煦于1852年称：“去岁获交海昌壬叔李君，……缘出予未竟残稿请正，而壬叔颇赏予余弧与切割二线互求之术，再四促成，今岁又寄扎询及，遂谢绝繁冗，扃户抄录，阅月乃竟．嗟乎！友朋之助，曷可少哉？”（戴煦《外切密率》自序）李善兰与友人在学术上相互切磋，取长补短，他与数学家罗士琳（1774—1853）、徐有壬（1800—1860）也“邮递问难，常朝覆而夕又至”（崔敬昌《李壬叔征君传》）。
1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传教士展阅、受到伟烈亚力（A．Wylie，1815—1887）等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方科学著作的生涯。 [2]
李善兰与伟烈亚力翻译的第一部书，是欧几里得《几何原本》后九卷．在译《几何原本》的同时，他又与艾约瑟（J．Edkins， 1823—1905）合译了《重学》20卷。其后，还与伟烈亚力合译了《谈天》18卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷，与韦廉臣（A．William－son，1829—1890）合译了《植物学》8卷。以上几种书均于1857至1859年间由上海墨海书馆刊行。此外，他还与伟烈亚力、傅兰雅（J．Fryer）合译过《奈端数理》（即牛顿《自然哲学的数学原理》），可惜没有译完，未能刊行。
1860年，李善兰在江苏巡抚徐有壬幕下作幕宾．太平军占领苏州后，他留在那儿的行箧，包括各种著作手稿，散失以尽．从此他“绝意时事”，避乱上海，埋头从事数学研究，重新著书立说。其间，他与数学家吴嘉善、刘彝程等人都有过学术上的交往。 [2]
1861年秋，洋务派首领、两江总督曾国藩（1811—1872）在安徽筹建安庆内军械所，并邀著名化学家徐寿（1811—1884）、数学家华蘅芳（1833—1902）入幕。李善兰也于1862年被“聘入戎幄，兼主书局”。他一到安庆，就拿出“印行无几而板毁”于战火的《几何原本》等数学书籍请求曾国藩重印刊行，并推荐张文虎、张斯桂等人入幕。他们同住一处，经常进行学术讨论，积极参与洋务新政中有关科学技术方面的活动。
1864年夏，曾国藩攻陷太平天国首都天京（今南京），李善兰等也跟着到了南京，他再次向曾国藩提出刻印他所译所著的数学书籍，得到曾国藩的支持和资助，于是有1865年金陵刊本《几何原本》15卷和1867年金陵刊本《则古昔斋算学》24卷问世．与此同时（1866），在南京开办金陵机器局的李鸿章（1823—1901）也资助李善兰重刻《重学》20卷并附《圆锥曲线说》3卷出版。
1866年，在北京的京师同文馆内添设了天文算学馆，广东巡抚郭嵩焘（1817—1891）上疏举荐李善兰为天文算学总教习，但李善兰忙于在南京出书，到1868年才北上就任。从此他完全转向于数学教育和研究工作，直至1882年去世。其间所教授的学生“先后约百余人。口讲指画，十余年如一日。诸生以学有成效，或官外省，或使重洋”（崔敬昌《李壬叔征君传》），知名者有席淦、贵荣、熊方柏、陈寿田、胡玉麟、李逢春等。晚年，获得意门生江槐庭、蔡锡勇二人，即致函华蘅芳，称“近日之事可喜者，无过于此，急欲告之阁下也”。这些人在传播近代科学特别是数学知识方面都起过重要作用。 [2]
李善兰到同文馆后，第二年（1869）即被“钦赐中书科中书”（从七品卿衔），1871年加内阁侍读衔，1874年升户部主事，加六品卿员外衔，1876年升员外郎（五品卿衔），1879年加四品卿衔，1882年授三品卿衔户部正郎、广东司行走、总理各国事务衙门章京。一时间，京师各“名公钜卿，皆折节与之交，声誉益噪”（蒋学坚《怀亭诗话》）。但他依然孜孜不倦从事同文馆教学工作，并埋头进行学术著述，1872年发表《考数根法》，1877年演算《代数难题》，1882年去世前几个月，“犹手著《级数勾股》二卷，老而勤学如此”（崔敬昌《李壬叔征君传》）。
李善兰在数学方面的研究成果主要见于其所著《则古昔斋算学》13种24卷和题为“《则古昔斋算学》十四”的《考数根法》。1867年刊行的《则古昔斋算学》收录他20多年来的各种天算著作，计有《方圆阐幽》1卷（1845）、《弧矢启秘》2卷（1845）、《对数探源》2卷（1845）、《垛积比类》4卷、《四元解》2卷（1845）、《麟德术解》3卷（1848）、《椭圆正术解》2卷、《椭圆新术》1卷、《椭圆拾遗》3卷、《火器真诀》1卷（1858）、《对数尖锥变法释》1卷、《级数回求》1卷、《天算或问》1卷．《考数根法》则发表于1872年的《中西闻见录》第二、三、四号上。李善兰的其他数学著述还有《测圆海镜解》、《测圆海镜图表》、《九容图表》、《粟布演草》、《同文馆算学课艺》和《同文馆珠算金踌针》等多种。
李善兰的数学成就主要有尖锥术、垛积术、素数论三个方面
李善兰在数学研究方面的成就，主要有尖锥术、垛积术和素数论三项。尖锥术理论主要见于《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》三种著作,成书年代约为1845年,当时解析几何与微积分学尚未传入中国。李善兰创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程
他创造的“尖锥求积术”。相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则。他用“分离元数法”独立地得出了二项平方根的幂级数展开式结合“尖锥求积术”，得到了π的无穷级数表达式。各种三角函数和反三角函数的展开式，以及对数函数的展开式。
在使用微积分方法处理数学问题方面取得了创造性的成就。垛积术理论主要见于《垛积比类》,写于1859～1867年间，这是有关高阶等差级数的著作。李善兰从研究中国传统的垛积问题入手，获得了一些相当于现代组合数学中的成果。例如，“三角垛有积求高开方廉隅表”和“乘方垛各廉表”实质上就是组合数学中著名的第一种斯特林数和欧拉数。驰名中外的“李善兰恒等式”。
自20世纪30年代以来，受到国际数学界的普遍关注和赞赏。可以认为，《垛积比类》是早期组合论的杰作。素数论主要见于《考数根法》，发表于1872年，这是中国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真。 [4]
李善兰对经典力学在中国的传播作出卓越的贡献。他将英国人W．胡威立的《初等力学教程》(1833年第2版)笔译(经艾约瑟口述)为中文，1859年由上海墨海书馆以《重学》的书名出版，共20卷。这是第一本系统介绍力学的中译本。
李善兰在《重学》一书所写的序言中。特别强调了动力学的内容：“推其暂如飞炮击敌，动重学也；推其久如五星绕太阳、月绕地，动重学也。”“动重学之率凡三：曰力、曰质、曰速。力同，则质小者速大，质大者速小；质同，则力小者谜小，力大者速大。”“动重学所推者力生速。凡物不能自动，力加之而动，若动后不复加力，则以平速动；若动后恒加力，则以渐加速动。”“凡物旋动，必环重心，地动是也。二物相连而相绕，必环公重心，月地相摄而动是也。“李善兰与伟烈亚力合译英国天文学家J．F．赫歇耳(1792～1871)所著《天文学纲要》一书。中译本名为《谈天》，于1859年刊行。李善兰执笔时作了删略。该书不仅把近代天文学第一次系统地介绍到中国。而且引进了有关万有引力的学说和天体力学的内容。有些力学专门术语的中文译名，如摄动、章动等。最早见于《谈天》。此后，李善兰又着手翻译I．牛顿的《自然哲学的数学原理》，虽然书没译完，译稿后也遗失，但自李善兰把牛顿力学介绍到中国后，西方近代科学的思想体系、观点和方法，以及近代科学史上的若干成就才为中国学者所运新熟悉，同时也激起中国学者学习自然科学的热情。
李善兰在所著《火器真诀》中按照不计空气阻力抛射体在平面或斜面上射程的公式，提出弹道学的图解方法。这些结果虽然低于当时欧洲弹道学水平，但反映了自然科学由引进到消化的过程。 [5]